행렬을 사용하여 선형 연립 방정식의 해를 구하는 예시

행렬 Marix, 행렬식 Determinant, 선형연립방적식 Linear Algebra System, 해 Solution

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행렬식(determinant)을 사용하여 선형 연립 방정식을 푸는 방법은 **크라메르 공식 (Cramer’s Rule)**이라고 합니다.

문제

다음 연립 방정식을 푸시오.

[katex display=true]\Large \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x + y = 3 \end{cases}[/katex]

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1단계: 행렬 폼으로 변환

이 시스템을 [katex]\Large AX = B[/katex] 형태로 변환합니다. 여기서 [katex]\Large A[/katex]는 계수 행렬, [katex]\Large X[/katex]는 변수 벡터, [katex]\Large B[/katex]는 상수 벡터입니다.

[katex display=true]\Large \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}[/katex]

2단계: 크라메르 공식

크라메르 공식에 따르면 [katex]\Large x[/katex]와 [katex]\Large y[/katex]의 해는 다음과 같습니다.

[katex display=true]\Large x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} \quad \text{그리고} \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}[/katex]

3단계: 각 행렬 정의하기

여기서 [katex]\Large A[/katex]는 기본 계수 행렬입니다.

[katex display=true]\Large A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/katex]

[katex]\Large A_x[/katex]는 [katex]\Large A[/katex]의 첫 번째 열(x의 계수)을 상수 벡터 [katex]\Large B[/katex]로 대체한 행렬입니다.

[katex display=true]\Large A_x = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/katex]

[katex]\Large A_y[/katex]는 [katex]\Large A[/katex]의 두 번째 열(y의 계수)을 상수 벡터 [katex]\Large B[/katex]로 대체한 행렬입니다.

[katex display=true]\Large A_y = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/katex]

4단계: 각 행렬의 행렬식(Determinant) 계산

2×2 행렬의 행렬식 공식인 [katex]\Large ad – bc[/katex]를 이용해 계산합니다.

기본 행렬식 [katex]\Large \det(A)[/katex]는 다음과 같습니다.

[katex display=true]\Large \det(A) = (2)(1) – (3)(1) = 2 – 3 = -1[/katex]

[katex]\Large x[/katex]를 구하기 위한 행렬식 [katex]\Large \det(A_x)[/katex]는 다음과 같습니다.

[katex display=true]\Large \det(A_x) = (8)(1) – (3)(3) = 8 – 9 = -1[/katex]

[katex]\Large y[/katex]를 구하기 위한 행렬식 [katex]\Large \det(A_y)[/katex]는 다음과 같습니다.

[katex display=true]\Large \det(A_y) = (2)(3) – (8)(1) = 6 – 8 = -2[/katex]

5단계: 해 구하기

이제 크라메르 공식을 사용하여 [katex]\Large x[/katex]와 [katex]\Large y[/katex]를 구합니다.

[katex display=true]\Large x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-1}{-1} = 1[/katex]

[katex display=true]\Large y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-2}{-1} = 2[/katex]

결론

따라서 이 연립 방정식의 해는 [katex]\Large x = 1[/katex], [katex]\Large y = 2[/katex] 입니다.