Derivation of Cramer’s Rule
크라메르 공식(Cramer’s Rule)을 유도해 봅시다. 고등학생에게 가장 익숙한 ‘가감법'(소거법)을 사용해서 2×2 연립 방정식을 푸는 과정에서 이 공식이 어떻게 나오는지 보여드리겠습니다.
다음과 같은 일반적인 연립 방정식이 있습니다.
[katex display=true]\Large \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}[/katex]
1단계: $y$를 소거하여 $x$ 구하기
먼저, [katex]\Large y[/katex]항을 없애기 위해 두 식을 조작합니다.
첫 번째 식의 양변에 [katex]\Large d[/katex]를 곱하고, 두 번째 식의 양변에 [katex]\Large b[/katex]를 곱합니다.
[katex display=true]\Large \begin{cases} (ad)x + (bd)y = ed \\ (bc)x + (bd)y = fb \end{cases}[/katex]
이제 첫 번째 식에서 두 번째 식을 뺍니다. [katex]\Large y[/katex]항이 사라집니다.
[katex display=true]\Large (ad)x – (bc)x = ed – fb[/katex]
[katex]\Large x[/katex]로 묶어줍니다.
[katex display=true]\Large (ad – bc)x = ed – fb[/katex]
[katex]\Large ad – bc[/katex]가 0이 아니라고 가정하고 양변을 나누면 [katex]\Large x[/katex]의 해를 얻습니다.
[katex display=true]\Large x = \frac{ed – fb}{ad – bc}[/katex]
2단계: x를 소거하여 ㅛ 구하기
이번에는 [katex]\Large x[/katex]항을 없애기 위해 원래의 두 식으로 돌아갑니다.
첫 번째 식의 양변에 [katex]\Large c[/katex]를 곱하고, 두 번째 식의 양변에 [katex]\Large a[/katex]를 곱합니다.
[katex display=true]\Large \begin{cases} (ac)x + (bc)y = ec \\ (ac)x + (ad)y = fa \end{cases}[/katex]
이제 두 번째 식에서 첫 번째 식을 뺍니다. [katex]\Large x[/katex]항이 사라집니다.
[katex display=true]\Large (ad)y – (bc)y = fa – ec[/katex]
[katex]\Large y[/katex]로 묶어줍니다.
[katex display=true]\Large (ad – bc)y = af – ec[/katex]
양변을 [katex]\Large ad – bc[/katex]로 나누면 [katex]\Large y[/katex]의 해를 얻습니다.
[katex display=true]\Large y = \frac{af – ec}{ad – bc}[/katex]
3단계: 결과를 행렬식(Determinant)과 연결하기
이제 우리가 구한 해가 행렬식과 어떤 관계가 있는지 살펴봅시다.
분모(Denominator):
[katex]\Large x[/katex]와 [katex]\Large y[/katex]의 해는 모두 [katex]\Large ad – bc[/katex]라는 공통된 분모를 가집니다.
이 값은 원래 방정식의 계수들로 만든 행렬 [katex]\Large A[/katex]의 행렬식(determinant)과 정확히 같습니다.
[katex display=true]\Large A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/katex]
[katex display=true]\Large \det(A) = ad – bc[/katex]
분자(Numerator):
1. [katex]\Large x[/katex]의 분자: [katex]\Large ed – fb[/katex]
이 값은, 원래 행렬 [katex]\Large A[/katex]의 **첫 번째 열([katex]\Large x[/katex] 계수 열)**을 상수 벡터 [katex]\Large \begin{pmatrix} e \ f \end{pmatrix}[/katex]로 바꾼 새로운 행렬의 행렬식과 같습니다. 이 행렬을 [katex]\Large A_x[/katex]라고 부릅시다.
[katex display=true]\Large A_x = \begin{pmatrix} e & b \\ f & d \end{pmatrix}[/katex]
[katex display=true]\Large \det(A_x) = ed – bf[/katex]
2. [katex]\Large y[/katex]의 분자: [katex]\Large af – ec[/katex]
이 값은, 원래 행렬 [katex]\Large A[/katex]의 **두 번째 열([katex]\Large y[/katex] 계수 열)**을 상수 벡터 [katex]\Large \begin{pmatrix} e \ f \end{pmatrix}[/katex]로 바꾼 행렬 [katex]\Large A_y[/katex]의 행렬식과 같습니다.
[katex display=true]\Large A_y = \begin{pmatrix} a & e \\ c & f \end{pmatrix}[/katex]
[katex display=true]\Large \det(A_y) = af – ec[/katex]
4단계: 크라메르 공식 완성
이 관계를 모두 종합하면, [katex]\Large x[/katex]와 [katex]\Large y[/katex]의 해를 다음과 같이 깔끔한 행렬식의 비율로 표현할 수 있습니다.
[katex display=true]\Large x = \frac{ed – fb}{ad – bc} = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}[/katex]
[katex display=true]\Large y = \frac{af – ec}{ad – bc} = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}[/katex]
이것이 바로 크라메르 공식입니다.
