[중3고1] 지수함수의 그래프 (Graphs of Exponential Function)

[Wolf]

Wolf

February 15, 2026 at 5:07 pm #5380

🔸 문제

문제 1

지수함수(exponential function) $f(x) = a^{x-h} + k$의 그래프(graph)가 두 점 $(2, 5)$와 $(3, 11)$을 지나고, 점근선(asymptote)이 직선 $y = -1$일 때, 이 함수의 그래프(graph)가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표(y-intercept)를 구하시오. 단, 밑(base)인 $a$는 $a > 0, a \neq 1$인 상수이다. (정답률 1%)

문제 2

두 지수함수(exponential function) $f(x) = 2^x$와 $g(x) = 2^{x-2} + 3$의 그래프(graph)가 있다. 함수 $f(x)$의 그래프(graph)를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동(parallel translation)하였더니 함수 $g(x)$의 그래프(graph)와 일치하였다면, 이때 상수 $m$과 $n$의 합인 $m+n$의 값을 구하시오. (정답률 2%)

문제 3

지수함수(exponential function) $y = a^x$의 그래프(graph)에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은 무엇인가? (단, $a > 1$이다.)
[보기]
ㄱ. 그래프(graph)는 점 $(0, 1)$을 반드시 지난다.
ㄴ. $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소하는 감소함수(decreasing function)이다.
ㄷ. 그래프(graph)의 점근선(asymptote)은 $x$축, 즉 직선 $y = 0$이다.
ㄹ. 제3사분면(third quadrant)과 제4사분면(fourth quadrant)을 지난다. (정답률 3%)
① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄷ, ㄹ

문제 4

지수함수(exponential function) $y = 3^x$의 그래프(graph)를 $x$축에 대하여 대칭이동(symmetric translation)한 후, 다시 $y$축의 방향으로 2만큼 평행이동(parallel translation)시킨 그래프(graph)가 지나는 사분면(quadrant)을 모두 나열한 것을 고르시오. (정답률 5%)
① 제1, 2사분면 ② 제3, 4사분면 ③ 제1, 3, 4사분면 ④ 제1, 2, 4사분면 ⑤ 제2, 3, 4사분면

문제 5

다음 중 지수함수(exponential function) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$의 그래프(graph)의 특징으로 옳지 않은 것을 고르시오. 이 문제는 지수함수(exponential function)의 밑(base)이 0과 1 사이일 때의 기본적인 성질을 이해하고 있는지 묻는 문제이다. (정답률 10%)
① 정의역(domain)은 실수 전체의 집합이다.
② 치역(range)은 양의 실수 전체의 집합이다.
③ $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다.
④ 그래프(graph)는 점 $(1, 0.5)$를 지난다.
⑤ 점근선(asymptote)은 $x$축이다.

---

🔸 정답과 풀이

문제 1

정답
$0.5$ (또는 $\frac{1}{2}$)
풀이
점근선(asymptote)이 $y = -1$이므로 $k = -1$이다.
함수식은 $f(x) = a^{x-h} – 1$이 된다.
1) 점 $(2, 5)$를 대입하면: $5 = a^{2-h} – 1 \Rightarrow a^{2-h} = 6 \cdots ①$
2) 점 $(3, 11)$을 대입하면: $11 = a^{3-h} – 1 \Rightarrow a^{3-h} = 12 \cdots ②$
②를 ①로 나누면: $\frac{a^{3-h}}{a^{2-h}} = \frac{12}{6} \Rightarrow a = 2$
$a=2$를 ①에 대입하면: $2^{2-h} = 6$
$y$축과 만나는 점의 $y$좌표(y-intercept)는 $x=0$일 때의 값이므로:
$f(0) = 2^{0-h} – 1 = 2^{-h} – 1$
이때 $2^{2-h} = 2^2 \cdot 2^{-h} = 4 \cdot 2^{-h} = 6$이므로 $2^{-h} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$이다.
따라서 $f(0) = \frac{3}{2} – 1 = \frac{1}{2} = 0.5$이다.

문제 2

정답
5
풀이
함수 $f(x) = 2^x$를 $x$축 방향으로 $m$만큼, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동(parallel translation)한 식은 $y = 2^{x-m} + n$이다.
이 식이 $g(x) = 2^{x-2} + 3$과 일치해야 하므로 계수를 비교하면:
$m = 2, n = 3$임을 알 수 있다.
따라서 $m + n = 2 + 3 = 5$이다.

문제 3

정답
②
풀이
ㄱ. $y = a^0 = 1$이므로 항상 점 $(0, 1)$을 지난다. (참)
ㄴ. $a > 1$일 때, 지수함수(exponential function)는 $x$가 증가함에 따라 $y$도 증가하는 증가함수(increasing function)이다. (거짓)
ㄷ. 지수함수(exponential function) $y = a^x$의 함숫값은 항상 양수이며 $x$가 작아질수록 0에 가까워지므로 $x$축($y=0$)이 점근선(asymptote)이다. (참)
ㄹ. 치역(range)이 ${y|y > 0}$이므로 그래프(graph)는 제1, 2사분면만 지난다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

문제 4

정답
④
풀이
1) $y = 3^x$를 $x$축에 대하여 대칭이동(symmetric translation)하면 $y$ 대신 $-y$를 대입하여 $-y = 3^x$, 즉 $y = -3^x$가 된다.
2) 이를 $y$축 방향으로 2만큼 평행이동(parallel translation)하면 $y = -3^x + 2$가 된다.
– $x$가 매우 작을 때(음수 방향), $-3^x$는 0에 가까워지므로 $y$는 2에 가까워진다 (점근선 $y=2$).
– $x=0$일 때, $y = -3^0 + 2 = -1 + 2 = 1$ (점 $(0, 1)$ 통과, 제1사분면/제2사분면 통과).
– $y=0$일 때, $0 = -3^x + 2 \Rightarrow 3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2 > 0$. 즉 $x$가 양수인 지점에서 $x$축을 뚫고 내려가므로 제4사분면을 지난다.
결과적으로 제1, 2, 4사분면을 지나게 된다.

문제 5

정답
③
풀이
지수함수(exponential function) $y = a^x$에서 밑(base)인 $a$가 $0 < a < 1$인 경우(여기서는 $1/2$), $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소하는 감소함수(decreasing function)의 형태를 띤다.
따라서 ③ ‘$x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다’는 설명은 옳지 않다. 나머지 보기들은 지수함수(exponential function)의 일반적인 성질을 올바르게 설명하고 있다.

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